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几何画板解析2017年河南中考倒一(函数相关)

2017-07-24 永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂

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(2017·河南)如图,直线y=-(2/3)x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-(4/3)x2+bx+c经过点A,B.

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;

(2)M(m,0)为x轴上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N,

①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;

②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称 M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.




图文解析:

(1)常规题,简析如下:

(2)观察动画(动画自动演示)


在△BPN和△APM中,已有对顶角相等,而且∠PMA=90°,因此在动点变化过程中,只需符合△BPN中的一个内角为90°,即可满足以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似.

情形1.当∠PNB=90°时,亦即BN∥x轴时,如下图示:



情形2.当∠PBN=90°时,如下图示:


与直角相关的常用的辅助线多种,在平面直角坐标系中,常通过“斜化直”构造“K”型基本图,如下图示:


RtNCB中,tan2=CNBC,在RtAOB中,tan1=OBOA=23,同时不难证明∠1=2.所以有:


(3)M点在任意位置时,显然有:


分三种情况:

PMN的中点时,如下图示:


由“MN=2MP”得:




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